21:54 

Переходим к среднему звену школы

wpoms.
Step by step ...


a) Рассмотрим все числа образованные четырьмя цифрами 1, 2, 3 и 4. Образуем выражение
$$S_4 = 4321 - 4312 + 4231 - 4213 + ... + 1243 - 1234,$$
в котором числа слева направо идут от большего к меньшему и знаки + and $-$ чередуются. Вычислите $S_4.$
b) Аналогично, рассмотрим все числа образованные девятью различными цифрами, за исключением ноля, и образуем выражение
$$S_9 = 987654321 - 987654312 + 987654231 - ... - 123456789,$$
в котором числа слева направо идут от большего к меньшему и знаки + and $-$ чередуются. Вычислите $S_9.$



@темы: Теория чисел

20:10 

Что наша жизнь - Игра

wpoms.
Step by step ...


Дано целое число $N$, $N \geq 2.$
В игре OBM участвуют два игрока $A$ и $B$, игру начинает игрок $A$, получающий число $N.$ Он должен выбрать новое целое число $n,$ взаимно простое с $N$ и большее или равное $N$ и меньшее, чем $N.$ Это число передается игроку $B.$ Игрок $B$, получив число $n$ от своего оппонента, выбирает новое число $m,$ взаимно простое с $n$, большее или равное половине $n$ и меньшее $n.$ Затем он передает выбранное число $m$ игроку $A$ и процесс повторяется до тех пор, пока одному из игрок остается только выбрать число 1. Этот игрок будет победителем!
Например, для $N = 9,$ игрок $A$ может выбрать число 5 (заметьте, что он мог выбрать одно из чисел 5, 7 или 8); игрок $B$ может затем выбрать число $3;$ $A$ вынужден выбрать число 2 (это его единственная возможность), и затем $B$ выбирает 1 и выигрывает.
Определите, какой игрок имеет выигрышную стратегию, если
a) $N = 7;$
b) $N = 2016.$
Примечание. Два числа называют взаимно простыми, если у них нет общего делителя большего 1. Например, 9 и 6 не являются взаимно простыми числами, так как 3 --- их общий делитель.



@темы: Теория чисел

16:14 

Карл пишет

wpoms.
Step by step ...


Карл составляет список четырехзначных чисел по следующим правилам: сумма цифр числа должна быть равна 12, две цифры должны быть четными, а две другие --- нечетными. Например, число 2703 удовлетворяет эти условиям и должно быть включено в список. Помните, что число не может начинаться с ноля и что ноль чётен.
a) Какое ближайшее к 2016 число содержится в списке Карла?
b) Найдите сумму всех тех чисел в списке Карла, которые меньше 2016.



@темы: Про самолеты

Game

главная